Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$．
（1）證明f（x）在[2，6]上為減函數(shù)；
（2）求f（x）在[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）運用單調(diào)性的定義證明，注意取值、作差、變形、定符號和下結(jié)論幾個步驟；
（2）運用（1）的結(jié)論，即可得到最值．

解答 （1）證明：設(shè)2≤x₁＜x₂≤6，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$；
∵2≤x₁＜x₂≤6；
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[2，6]上是減函數(shù)，
（2）由（1）可知，f（x）在[2，6]上是減函數(shù)，
∴f（x）_max=f（2）=$\frac{1}{2}$，f（x）_min=f（6）=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的證明和運用：求最值，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．