Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=90°，AD=$\sqrt{3}$，DC=2AB=2，E為BC中點．
（Ⅰ）求證：平面PBC⊥平面PDE
（Ⅱ）線段PC上是否存在一點F，使PA∥平面BDF？若存在，求$\frac{PF}{PC}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）要證平面PBC⊥平面PDE，只要證平面PBC內(nèi)的直線BC⊥平面PDE即可．
（2）由線面平行的性質(zhì)定理，若使PA∥平面BDF，則過直線PA的平面和平面BDF的交線會和PA平行，故作輔助線OF∥AP，再利用線面平行判定定理證明．確定F的位置，則利用三角形相似的相似比確定$\frac{PF}{PC}$的值．

解答 解：（Ⅰ）連接BD
在RT△DAB中，BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}+{1}^{2}}=2$  …（1分）
知△DBC是等腰三角形．
又∵E為BC的中點．
∴DE⊥BC   …（2分）
∵PD⊥平面ABCD，且BC?平面ABCD
∴PD⊥BC  …（3分）
∵PD∩DE=D
∴BC⊥平面PDE  …（4分）
又∵BC?平面PBC
∴平面PBC⊥平面PDE  …（5分）
（Ⅱ）線段PC上存在一點F，且$\frac{PF}{PC}=\frac{1}{3}$時，有PA∥平面BDF．…（6分）
證明如下：
連接AC交BD于點O，在平面PAC中過點O作OF∥PA，則交PC于F…（7分）
又∵OF?平面BDF，PA?平面BDF   
∴PA∥平面BDF      …（9分）
∵四邊形ABCD中AB∥CD，
∴易知△ABO∽△CDO
又∵CD=2AB=2，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{AB}{CD}=\frac{1}{2}$   …（10分）
∵OF∥PA
∴$\frac{PF}{FC}=\frac{AO}{CO}=\frac{1}{2}$  …（11分）
∴當(dāng)$\frac{PF}{PC}=\frac{1}{3}$時，PA∥平面BDF …（12分）

點評 本題中考查了空間位置關(guān)系（兩平面垂直的判定與性質(zhì)，線面平行的判定與性質(zhì)），相似比確定線段分點，考查了空間想象能力，分析能力．（1）中證直線BC⊥平面PDE是關(guān)鍵點，（2）中確定OF∥PA是突破點，題型較常規(guī)，屬于中檔題．