Question

7．已知向量$\overrightarrow m$=（2sinωx，sinωx），$\overrightarrow n$=（cosωx，-2$\sqrt{3}$sinωx）（ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$+$\sqrt{3}$，直線x=x₁，x=x₂是函數(shù)y=f（x）的圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$．
（I）求ω的值；        
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）若f（a）=$\frac{2}{3}$，求sin（4a+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （I）利用數(shù)量積化簡函數(shù)的表達(dá)式，通過函數(shù)的周期求ω的值；        
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）利用已知條件，通過兩角和與差的三角函數(shù)化簡求解即可．

解答 解：（Ⅰ）向量$\overrightarrow m$=（2sinωx，sinωx），$\overrightarrow n$=（cosωx，-2$\sqrt{3}$sinωx）（ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$+$\sqrt{3}$，所以$f（x）=2sin（2ωx+\frac{π}{3}）$，直線x=x₁，x=x₂是函數(shù)y=f（x）的圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$．
可得T=π，$\frac{2π}{2ω}=π$，
∴ω=1．（4分）
（Ⅱ）$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$，可得2x$+\frac{π}{3}$∈$[2kπ-\frac{π}{2}，2kπ+\frac{π}{2}]$，可得x∈$[{kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}}]$（k∈Z ），
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間：$[{kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}}]$（k∈Z）   （8分）
（Ⅲ）$f（α）=2sin（2α+\frac{π}{3}）=\frac{2}{3}$，sin（4α+$\frac{π}{6}$）=-cos（4α+$\frac{2π}{3}$）=-1+2sin²（2$α+\frac{π}{3}$）=-1+$\frac{2}{9}$=-$\frac{7}{9}$．（12分）

點評 本題考查三角函數(shù)化簡求值，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期的求法，考查計算能力．