Question

9．已知a，b，c∈R⁺，且ab+bc+ca=1，那么下列不等式中正確的是（　　）

• A． a²+b²+c²≥2
• B． （a+b+c）²≥3
• C． $\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$≥2$\sqrt{3}$
• D． abc（a+b+c）≥$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)不等式a²+b²≥2ab及條件便可判斷出選項(xiàng)A錯(cuò)誤，并且可得出a²+b²+c²≥1，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)B正確；而由條件及三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式便可判斷選項(xiàng)C錯(cuò)誤；先得到abc（a+b+c）=（ab）（ca）+（ab）（bc）+（ca）（bc），由條件知1=（ab+bc+ca）²，這樣由不等式a²+b²≥2ab便可說明選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

解答 解：A．∵$ab≤\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}，bc≤\frac{^{2}+{c}^{2}}{2}，ca≤\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2}$，且ab+bc+ca=1；
∴$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}+\frac{^{2}+{c}^{2}}{2}+\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2}≥1$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)取“=”；
即a²+b²+c²≥1，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．根據(jù)上面得出的a²+b²+c²≥1，及ab+bc+ca=1得：
（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）
=a²+b²+c²+2
≥1+2=3；
∴該選項(xiàng)正確；
C．∵a，b，c∈R⁺；
∴由ab+bc+ca=1得，$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}$；
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}≥3\root{3}{\frac{1}{abc}}$=$3\root{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)取等號(hào)；
∴$（\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}）^{2}≥27$；
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}≥3\sqrt{3}$，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．a(chǎn)bc（a+b+c）=（ab）（ca）+（ab）（bc）+（ca）（bc）；
又1=（ab+bc+ca）²
=（ab）²+（bc）²+（ca）²+2[（ab）（bc）+（ab）（ca）+（bc）（ca）]
=$[\frac{（ab）^{2}}{2}+\frac{（bc）^{2}}{2}]+[\frac{（ab）^{2}}{2}+\frac{（ca）^{2}}{2}]$$+[\frac{（bc）^{2}}{2}+\frac{（ca）^{2}}{2}]$+2[（ab）（bc）+（ab）（ca）+（bc）（ca）]；
≥3[（ab）（bc）+（ab）（ca）+（bc）（ca）]，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”；
∴$（ab）（bc）+（ab）（ca）+（bc）（ca）≤\frac{1}{3}$，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查不等式a²+b²≥2ab的運(yùn)用，注意判讀等號(hào)能否取到，以及三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式的運(yùn)用，并判斷等號(hào)能否取到，不等式的性質(zhì)，完全平方式的運(yùn)用．