Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB=PA=AD=2，E，F(xiàn)是CD，PC的中點(diǎn)．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）求異面直線BE與PD所成的角；
（3）求三棱錐C-BEF的體積．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理及線面平行的判定定理即可證明；
（2）由（1）知，∠PDA為異面直線BE與PD所成的角，即可求異面直線BE與PD所成的角；
（3）利用等體積轉(zhuǎn)換求三棱錐C-BEF的體積．

解答 （1）證明：∵DC∥AB，DC=2AB，E是CD中點(diǎn)，∴DE=AB，DE∥AB，
∴ABED為平行四邊形，∴BE∥AD，
∵BE?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BE∥平面PAD…（4分）
（2）解：由（1）知，∠PDA為異面直線BE與PD所成的角，
∵PA⊥ABCD，∴PA⊥AD，
∵PA=AD，∴∠PDA=45°．   …（8分）
（3）解：∵PA⊥ABCD，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)，
∴${V_{C-BEF}}={V_{F-BEC}}=\frac{1}{3}{S_{△BEF}}×\frac{AP}{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1=\frac{1}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線所成角的大小的求法，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．