Question

17．在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：ax+y+3=0，點A（0，1），若直線l上存在點M，滿足|MA|=2，則實數a的取值范圍是a≤-$\sqrt{3}$或a≥$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出M的軌跡，轉化為直線與圓有交點，利用圓心到直線的距離小于等于半徑，建立不等式，即可求出實數a的取值范圍．

解答 解：設M（x，y），則
∵點A（0，1），滿足|MA|=2，
∴M的軌跡方程為x²+（y-1）²=4，圓心為（0，1），半徑為2．
∵直線l：ax+y+3=0，點A（0，1），直線l上存在點M，滿足|MA|=2，
∴直線與圓有交點，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{4}{\sqrt{{a}^{2}+1}}≤2$，
∴a≤-$\sqrt{3}$或a≥$\sqrt{3}$．
故答案為：a≤-$\sqrt{3}$或a≥$\sqrt{3}$．

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，考查直線與圓的位置關系．是中檔題，