分析 (1)由已知求得a,把已知的坐標代入橢圓方程得到關(guān)于a,b的關(guān)系式,把a代入求得b,則橢圓方程可求;
(2)求出N的坐標,設(shè)出NE所在直線方程,與橢圓方程聯(lián)立求得E的坐標,同理求得F的坐標,代入兩點求斜率公式可得直線EF的斜率為定值.
解答 解:(1)依據(jù)橢圓的定義2a=4⇒a=2,
∵M(12,3√54)在橢圓x2a2+y22=1上,
∴14a2+45162=1,把a=2代入可得b2=3.
∴橢圓方程x24+y23=1;
(2)由(1)得,c=1,則N(1,32),
設(shè)直線NE的方程為:y=k(x−1)+32,
代入x24+y23=1,得(3+4k2)x2+4k(3−2k)x+4(32−k)2−12=0.
設(shè)E(xE,yE),F(xiàn)(xF,yF),
∵點N(1,32)在橢圓上,
∴由韋達定理得:xE+1=−4k(3−2k)3+4k2.
∴xE=4(32−k)2−123+4k2,yE=kxE+32−k.
又直線NF的斜率與NE的斜率互為相反數(shù),
在上式中以-k代k,可得xF=4(32+k)2−123+4k2,yF=−kxF+32+k,
∴xF+xE=8k2−63+4k2,xF−xE=24k3+4k2..
∴直線EF的斜率kEF=yF−yExF−xE=−k(xF+xE)xF−xE+2kxF−xE
=−k•8k2−63+4k2+2k24k3+4k2=12,
即直線EF的斜率為定值,其值為12.
點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計算能力,屬中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 12 | B. | √3−1 | C. | √63 | D. | √32 |
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A. | 有最小值6 | B. | 有最大值6 | C. | 有最大值9 | D. | 有最小值3 |
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A. | {-1,0} | B. | {0,1} | C. | {-1,0,1} | D. | {-1,0,1,2} |
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