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6.已知F1,F(xiàn)2分別為橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的左、右兩個焦點,橢圓上點M(12,354)到F1、F2兩點的距離之和等于4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知過右焦點且垂直于x軸的直線與橢圓交于點N(點N在第一象限),E,F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點,如果kEN+KFN=0,證明直線EF的斜率為定值,并求出這個定值.

分析 (1)由已知求得a,把已知的坐標代入橢圓方程得到關(guān)于a,b的關(guān)系式,把a代入求得b,則橢圓方程可求;
(2)求出N的坐標,設(shè)出NE所在直線方程,與橢圓方程聯(lián)立求得E的坐標,同理求得F的坐標,代入兩點求斜率公式可得直線EF的斜率為定值.

解答 解:(1)依據(jù)橢圓的定義2a=4⇒a=2,
M12354在橢圓x2a2+y22=1上,
14a2+45162=1,把a=2代入可得b2=3.
∴橢圓方程x24+y23=1;
(2)由(1)得,c=1,則N(1,32),
設(shè)直線NE的方程為:y=kx1+32,
代入x24+y23=1,得3+4k2x2+4k32kx+432k212=0
設(shè)E(xE,yE),F(xiàn)(xF,yF),
∵點N132在橢圓上,
∴由韋達定理得:xE+1=4k32k3+4k2
xE=432k2123+4k2yE=kxE+32k
又直線NF的斜率與NE的斜率互為相反數(shù),
在上式中以-k代k,可得xF=432+k2123+4k2yF=kxF+32+k,
∴xF+xE=8k263+4k2,xFxE=24k3+4k2..
∴直線EF的斜率kEF=yFyExFxE=kxF+xExFxE+2kxFxE
=k8k263+4k2+2k24k3+4k2=12,
即直線EF的斜率為定值,其值為12

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計算能力,屬中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求橢圓E的方程;
(2)過焦點F1,F(xiàn)2作兩條平行直線分別交橢圓E于A,B,C,D四個點.
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(1)求拋物線C1的方程;
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②若點P在橢圓C2上,求△PMN面積S的最大值及相應(yīng)的點P的坐標.

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