Question

18．已知函數(shù)f（x）=cos（3x+$\frac{π}{3}$）+cos（3x-$\frac{π}{3}$）+2sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{3x}{2}$，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）展開兩角和與差的余弦，利用倍角公式降冪再用兩角和的正弦化積，則周期可求；
（Ⅱ）由x的范圍求得相位的3x+$\frac{π}{4}$的范圍，進(jìn)一步求出sin（3x$+\frac{π}{4}$）的范圍得答案．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=cos（3x+$\frac{π}{3}$）+cos（3x-$\frac{π}{3}$）+2sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{3x}{2}$
=cos3xcos$\frac{π}{3}$-sin3xsin$\frac{π}{3}$+cos3xcos$\frac{π}{3}$+sin3xsin$\frac{π}{3}$+sin3x
=$\frac{1}{2}cos3x-\frac{\sqrt{3}}{2}sin3x+\frac{1}{2}cos3x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin3x$+sin3x
=sin3x+cos3x=$\sqrt{2}sin（3x+\frac{π}{4}）$．
∴$T=\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，∴3x∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]，
則$3x+\frac{π}{4}∈$[$-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]，sin（3x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]．
則f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值和最小值分別為$\sqrt{2}$和-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．