Question

13．如圖，已知點O是△ABC的外心，H為垂心，BD為外接圓直徑．求證：
（1）$\overrightarrow{AH}$=$\overrightarrow{DC}$；
（2）$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$．

Answer 1

分析 （1）連接CH，AD．根據(jù)H為垂心，BD為外接圓直徑，可得AH⊥BC，CD⊥BC，利用垂直與平行的關系、平行四邊形的判定定理即可得出AHCD是平行四邊形，進而證明結論．
（2）取BC的中點E，連接OE，利用垂經定理可得：OE⊥BC．利用三角形中位線定理可得：OE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD．再根據(jù)向量三角形法則即可得出．

解答 證明：（1）連接CH，AD．
∵H為垂心，BD為外接圓直徑，
∴AH⊥BC，CD⊥BC，
∴AH∥DC，同理可得CH∥AD．
∴四邊形AHCD是平行四邊形，
∴$\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{DC}$．
（2）取BC的中點E，連接OE，則OE⊥BC．
∴OE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD．
又$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OE}$，
∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AH}$，
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}+$$\overrightarrow{AH}$=$\overrightarrow{OH}$．

點評 本題考查了三角形外心的性質、垂經定理、三角形中位線定理、平行四邊形的性質、向量的三角形法則、向量相等的定義等，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．