Question

12．已知實(shí)數(shù)a＜-1，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（-2{x}^{3}+3a{x}^{2}+6ax-4{a}^{2}-6a）•{e}^{x}，x≤1}\\{[（6a-1）lnx+x+\frac{a}{x}+15a]•e，x＞1}\end{array}\right.$，若?x₁，x₂∈[a，-a]（x₁≠x₂），[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0，則實(shí)數(shù)a的最大值為（　　）

• A． -3
• B． -2
• C． -1
• D． 2

Answer 1

分析 分別對(duì)兩段函數(shù)在[a，1]上和[1，-a]上求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)小于0得a的范圍，再由x=1時(shí)上段函數(shù)的函數(shù)值大于等于下段函數(shù)的函數(shù)值求得a的范圍，最后去交集得答案．

解答 解：當(dāng)a＜-1時(shí)，-a＞1，
∵?x₁，x₂∈[a，-a]（x₁≠x₂），[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0，
∴此時(shí)函數(shù)f（x）在[-a，a]上為減函數(shù)，
則區(qū)間[a，-a]的左端點(diǎn)小于-1，右端點(diǎn)大于1，
要使f（x）在[a，-a]上為減函數(shù)，
即f（x）=（-2x³+3ax²+6ax-4a²-6a）•e^x  ①在[a，1]上為減函數(shù)，
$f（x）=[（6a-1）lnx+x+\frac{a}{x}+15a]•e$  ②在[1，-a]上為減函數(shù)，
且（-2+3a+6a-4a²-6a）•e≥（1+a+15a）•e  ③．
解③得：-3$≤a≤-\frac{1}{4}$．
對(duì)①求導(dǎo)得：f′（x）=[-2x³+（3a-6）x²+12ax-4a²]•e^x，
要使f′（x）≤0在[a，1]上成立，
則g（x）=-2x³+（3a-6）x²+12ax-4a²≤0在[a，1]上成立，
由g′（x）=-6x²+（6a-12）x+12a=0，得x=a或x=-2．
當(dāng)a≥-2時(shí)，g（x）在[a，1]上為減函數(shù)，
由g（a）=-2a³+3a³-6a²+12a²-4a²=a³+2a²≤0，
得a≤-2，
∴a=-2．
當(dāng)a＜-2時(shí)，g（x）在[a，1]上的最大值為g（-2）=16+12a-24-24a-4a²=-4a²-12a-8．
由g（-2）≤0，解得：a≤-2或a≥-1．
∴a＜-2．
對(duì)②求導(dǎo)得：${f}^{′}（x）=（\frac{6a-1}{x}+1-\frac{a}{{x}^{2}}）•e$=$\frac{{x}^{2}+（6a-1）x-a}{{x}^{2}}•e$．
要使f′（x）≤0在[1，-a]上成立，
則h（x）=x²+（6a-1）x-a≤0在[1，-a]上成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{1+6a-1-a≤0}\\{{a}^{2}-6{a}^{2}+a-a≤0}\end{array}\right.$，解得：a≤0．
綜上，存在實(shí)數(shù)a∈[-3，-2]，使f（x）在[a，-a]上為減函數(shù)．
則實(shí)數(shù)a的最大值為-2，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷，利用分段函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．