Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，S_n=2a_n-1且n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂（S_n+1）（n∈N^*），令T_n=$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，則a₁=1；當n＞1時，S_n=2a_n-1，∴S_n-1=2a_n-1-1，S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，由此可知{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，進而可得答案．
（Ⅱ）利用裂項法進行解答．

解答 解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁，由S₁=2a₁-1，得a₁=1．
當n≥2時，S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1，
則S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
所以$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2$，n≥2，
故數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．
${a_n}={2^{n-1}}$（n∈N^*）．
（Ⅱ）因為$1+{S_n}=2{a_n}={2^n}$，
所以b_n=log₂（S_n+1）=n，
因為$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以${T_n}=\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$1-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查裂項相消法、分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．