Question

8．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，∠CAD=$\frac{π}{4}$，AC=$\frac{7}{2}$，cos∠ADB=-$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．若△ABD的面積為7，則AB=$\sqrt{37}$．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin∠ADB，利用兩角差的正弦函數(shù)公式可求sin∠C的值，從而在△ADC中，由正弦定理可求AD的值，進(jìn)而利用三角形面積公式可求BD，在△ADB中，利用余弦定理即可求得AB的值．

解答 解：因?yàn)?cos∠ADB=-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，
所以$sin∠ADB=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$．
又因?yàn)?∠CAD=\frac{π}{4}$，
所以$∠C=∠ADB-\frac{π}{4}$，
所以$sin∠C=sin（∠ADB-\frac{π}{4}）=sin∠ADBcos\frac{π}{4}-cos∠ADBsin\frac{π}{4}$=$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{10}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{4}{5}$．
在△ADC中，由正弦定理得$\frac{AD}{sin∠C}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，
故$AD=\frac{AC•sin∠C}{sin∠ADC}=\frac{AC•sin∠C}{sin（π-∠ADB）}=\frac{AC•sin∠C}{sin∠ADB}=\frac{{\frac{7}{2}×\frac{4}{5}}}{{\frac{{7\sqrt{2}}}{10}}}=2\sqrt{2}$．
又${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}•AD•AB•sin∠ADB=\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•BD•\frac{{7\sqrt{2}}}{10}=7$，解得BD=5．
在△ADB中，由余弦定理得：$A{B^2}=A{D^2}+B{D^2}-2AD•BD•cos∠ADB=8+25-2×2\sqrt{2}×5×（-\frac{{\sqrt{2}}}{10}）={37}$．
可得：AB=$\sqrt{37}$．
故答案為：$\sqrt{37}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的正弦函數(shù)公式，正弦定理，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．