Question

20．若函數(shù)f（x）=|sinx+$\frac{2}{3+sinx}$+t|（x，t∈R），對(duì)于任意的t∈R均存在x₀使得f（x₀）≥m，則m的最大值是（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． 2$\sqrt{2}$-3
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 0

Answer 1

分析 化簡sinx+$\frac{2}{3+sinx}$=sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3，可得0≤sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3≤$\frac{3}{2}$，從而求得f（x）的最小值為0，得到使f（x₀）≥m成立的m的最大值．

解答 解：∵sinx+$\frac{2}{3+sinx}$=sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3，
∵-1≤sinx≤1，
∴2≤sinx+3≤4，
∴3≤sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$≤$\frac{9}{2}$，
∴0≤sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3≤$\frac{3}{2}$，
∴對(duì)任意的t∈R，f（x）的最小值為0．
∴使f（x₀）≥m成立的m的最大值是0．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性及分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)及整體思想與分類討論的思想，是中檔題．