Question

下列四個(gè)命題：
①集合{a₁，a₂，a₃，a₄}的真子集的個(gè)數(shù)為15；
②（2

x

-

1

x

）⁶的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為160；
③

∫

1 -1

（sin²⁰¹³x+

1-x2

）dx=

π

2

④已知x∈R，條件p：x²＜x，條件q：

1

x

≥1，則p是q的充分必要條件，
其中真命題的個(gè)數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯,二項(xiàng)式定理

分析：①易知集合{a₁，a₂，a₃，a₄}的真子集的個(gè)數(shù)為2⁴-1個(gè)，從而可判斷①的正誤；
②利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可求得（2

x

-

1

x

）⁶的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，從而可判斷②的正誤；
③利用微積分基本定理可求得

∫

1 -1

（sin²⁰¹³x+

1-x2

）dx=

π

2

，從而可判斷③的正誤；
④由充分條件與必要條件的概念可判斷④的正誤．

解答： 解：①集合{a₁，a₂，a₃，a₄}的真子集的個(gè)數(shù)為2⁴-1=15，故①對(duì)；
②（2

x

-

1

x

）⁶的二項(xiàng)展開(kāi)式中的通項(xiàng)為

C

r 6

(2

x

)6-r(-

1

x

)r=

C

r 6

•22^6-r2^6-r•（-1）^r•（

x

）^6-2r
=

C

r 6

•2^6-r•（-1）^r•x^3-r，令r=3，則

C

3 6

•2³•（-1）³=-160，故②錯(cuò)；
③

∫

1 -1

（sin²⁰¹³x+

1-x2

）dx=

∫

1 -1

sin²⁰¹³xdx+

∫

1 -1

1-x2

dx，
∵y=sin²⁰¹³x為區(qū)間[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴

∫

1 -1

sin²⁰¹³xdx=

∫

0 -1

sin²⁰¹³xdx+

∫

1 0

sin²⁰¹³xdx=0，
又y=

1-x2

表示以原點(diǎn)（0，0）為圓心，1為半徑的上半圓，故

∫

1 -1

1-x2

dx=

π

2

，
故

∫

1 -1

（sin²⁰¹³x+

1-x2

）dx=

π

2

，即③對(duì)；
④已知x∈R，條件p：x²＜x，⇒0＜x＜1；
條件q：

1

x

≥1?

1-x

x

≥0⇒0＜x≤1，則p是q的充分不必要條件，故④錯(cuò)誤．
綜上所述，真命題的個(gè)數(shù)是2個(gè)，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查二項(xiàng)展開(kāi)式定理，微積分基本定理及充分條件與必要條件的概念及其應(yīng)用，屬于難題．