Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是左右焦點，A，B是長軸兩端點，點P（a，b）與F₁，F(xiàn)₂圍成等腰三角形，且${S_{△P{F_1}{F_2}}}$=$\sqrt{3}$．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點Q是橢圓上異于A，B的動點，直線QA、QB分別交直線l：x=m（m＜-2）于M，N兩點．
（i）當(dāng)$\overrightarrow{Q{F_1}}$=λ$\overrightarrow{MN}$時，求Q點坐標(biāo)；
（ii）是否存在實數(shù)m，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過點F₁？若存在，求出實數(shù)m的值，若不存在．請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得，F(xiàn)₁F₂=PF₂，即（a-c）²+b²=4c²，再由${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}=\sqrt{3}$，得bc=$\sqrt{3}$，然后結(jié)合隱含條件求得a，b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）（i）由$\overrightarrow{Q{F}_{1}}=λ\overrightarrow{MN}$，得則QF₁⊥x軸，由（Ⅰ）求得F₁（-1，0），設(shè)Q（-1，y），代入橢圓方程即可求得Q坐標(biāo)；
（ii）設(shè)Q（x₀，y₀），得直線QA方程為$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}（x+2）$，求出M點的坐標(biāo)為（m，$\frac{（m+2）{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$）．同理得N的坐標(biāo)為$（m，\frac{（m-2）{y}_{0}}{{x}_{0}-2}）$．由${k}_{M{F}_{1}}•{k}_{N{F}_{1}}$=-1求得m=-4．可知存在實數(shù)m=-4，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過點F．

解答 解：（Ⅰ）F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由題意可得，F(xiàn)₁F₂=PF₂，
∴（a-c）²+b²=4c²，
由${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}=\sqrt{3}$，可得$\frac{1}{2}•2c•b=bc=\sqrt{3}$，
又a²=b²+c²，聯(lián)立可得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）（i）∵$\overrightarrow{Q{F}_{1}}=λ\overrightarrow{MN}$，
∴QF₁∥MN，則QF₁⊥x軸，
由（Ⅰ）知，c²=1，則F₁（-1，0），
設(shè)Q（-1，y），則有$\frac{1}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，即y=$±\frac{3}{2}$，
∴Q（-1，$±\frac{3}{2}$）；
（ii）設(shè)Q（x₀，y₀），則${k}_{QA}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，直線QA方程為$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}（x+2）$，
令x=m，得M點的坐標(biāo)為（m，$\frac{（m+2）{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$）．
同理${k}_{QB}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，直線QB的方程為$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}（x-2）$，
得N的坐標(biāo)為$（m，\frac{（m-2）{y}_{0}}{{x}_{0}-2}）$．
∴${k}_{M{F}_{1}}•{k}_{N{F}_{1}}=\frac{\frac{（m+2）{y}_{0}}{2+{x}_{0}}}{m+1}•\frac{\frac{（m-2）{y}_{0}}{{x}_{0}-2}}{m+1}$=$\frac{（{m}^{2}-4）{{y}_{0}}^{2}}{（m+1）^{2}（{{x}_{0}}^{2}-4）}$．
又Q（x₀，y₀）在橢圓上，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，則$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}=-\frac{3}{4}$．
∴${k}_{M{F}_{1}}•{k}_{N{F}_{1}}$=$\frac{{m}^{2}-4}{（m+1）^{2}}•（-\frac{3}{4}）=-1$．
解得m=-4．
∴存在實數(shù)m=-4，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過點F．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查邏輯思維能力及運算求解能力，屬難題．