Question

17．已知如圖，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD=1，∠ABC=∠DBC=120°．
（Ⅰ）在直線BC上求作一點O，使BC⊥平面ADO，寫出作法并說明理由；
（Ⅱ）求三棱錐A-BCD的體積．

Answer 1

分析 （I）作AO⊥BC交CB延長線于O，連結OD，則BC⊥平面ADO．利用△AOB≌△DOB證明OD⊥BC，故而BC⊥平面ADO；
（II）由面面垂直的性質得出AO⊥平面BCD，于是V_A-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AO$．

解答 解：（I）作AO⊥BC交CB延長線于O，連結OD，則BC⊥平面ADO．
證明：∵AB=DB，OB=OB，∠ABO=∠DBO，∴△AOB≌△DOB，
∴∠DOB=∠AOB=90°，即OD⊥BC．
又AO?平面ADO，DO?平面ADO，AO∩DO=O，
∴BC⊥平面ADO．
（II）∵平面ABC⊥平面DBC，平面ABC∩平面DBC=BC，AO⊥BC，AO?平面ABC，
∴AO⊥平面BCD，即AO為棱錐A-BCD在底面BCD上的高．
∵∠ABO=180°-∠ABC=60°，AB=1，
∴AO=AB•sin∠ABO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•BD•sin∠DBC=$\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴V_A-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AO$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{8}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．