Question

5．已知橢圓${Γ_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，其離心率為$\frac{1}{2}$；拋物線${Γ_2}：{y^2}=-4{a^2}x$的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為8，H是準(zhǔn)線l上的點(diǎn)．
（1）求橢圓Γ₁、拋物線Γ₂的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓Γ₁于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)直線F₂H，PH，QH的斜率分別為k₁，k₂，k₃，探究：是否存在k₁，k₂，k₃的一個(gè)排列（如“k₃，k₁，k₂”，“k₁，k₃，k₂”等），使得這個(gè)排列為等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)以及拋物線的性質(zhì)即可求解．
（2）設(shè)直線方程PQ（考慮斜率存在和不存在情況）和P、Q、H的坐標(biāo)，利用設(shè)而不求的思想，建立關(guān)系，找到斜率k₁，k₂，k₃的關(guān)系，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判斷其是否構(gòu)成等差數(shù)列即可．

解答 解：（1）∵拋物線${Γ_2}：{y^2}=-4{a^2}x$的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為8，
∴2a²=8，解得a=2，
故拋物線Γ₂的方程為：y²=-16x．
∵橢圓Γ₁的離心率為$\frac{1}{2}$；即$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴c=1
那么：b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$
橢圓Γ₁的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由（1）可知：拋物線Γ₂的方程為：y²=-16x，其準(zhǔn)線方程為x=4，設(shè)H（4，m），當(dāng)直線PQ斜率不存在時(shí)，由P（1，$\frac{3}{2}$），Q（1，$-\frac{3}{2}$），那么${k}_{2}+{k}_{3}=\frac{m-\frac{3}{2}}{3}+\frac{m+\frac{3}{2}}{3}=\frac{2m}{3}=2{k}_{1}$，故k₂，k₁，k₃成等差數(shù)列．
當(dāng)直線PQ斜率存在時(shí)：設(shè)直線PQ方程為y=k（x-1），P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），H（4，m）．
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，可得：x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
由題意：k₁=$\frac{m}{3}$，k₂=$\frac{{y}_{1}-m}{{x}_{1}-4}$，k₃=$\frac{{y}_{2}-m}{{x}_{2}-4}$
那么：k₂+k₃=$\frac{{（y}_{1}-m）（{x}_{2}-4）+（{y}_{2}-m）（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$=$\frac{8m+8k+2{x}_{1}{x}_{2}-（m+5k）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）+16}$=$\frac{24m{k}^{2}+24m}{36{k}^{2}+36}=\frac{2m}{3}=2{k}_{1}$
故k₂，k₁，k₃成等差數(shù)列．
綜上所述：k₂，k₁，k₃成等差數(shù)列或k₃，k₁，k₂成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的基本性質(zhì)，拋物線的性質(zhì)，橢圓與直線的關(guān)系，設(shè)而不求的思想，直線斜率存在與否的討論，同時(shí)考查了化簡(jiǎn)和計(jì)算能力．屬于難題．