Question

9．已知f（x）為定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)且f（x）＞0，若f（x）＜xf'（x）恒成立，則不等式x²f（$\frac{1}{x}$）-f（x）＞0的解集為（0，1）．

Answer 1

分析 令輔助函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求其導(dǎo)函數(shù)，據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷出F（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性判斷出$\frac{f（\frac{1}{x}）}{\frac{1}{x}}$＞$\frac{f（x）}{x}$，由不等式的關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)得到結(jié)論．

解答 解：令F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，（x＞0），
則F′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵f（x）＜xf′（x），∴F′（x）＞0，
∴F（x）為定義域上的增函數(shù)，
由不等式x²f（$\frac{1}{x}$）-f（x）＞0，
得：$\frac{f（\frac{1}{x}）}{\frac{1}{x}}$＞$\frac{f（x）}{x}$，
∴$\frac{1}{x}$＞x，∴0＜x＜1，
故答案為：（0，1）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)符號確定函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時，函數(shù)單調(diào)遞增；導(dǎo)函數(shù)小于0時，函數(shù)單調(diào)遞減．此題為中檔題．