Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{1}{x}）^{8}，x＜0}\\{-\sqrt{x}，x≥0}\\{\;}\end{array}\right.$，則當(dāng)x＞0時，f[f（x）]表達(dá)式的展開式中常數(shù)項為（　�。�

• A． -20
• B． 20
• C． -70
• D． 70

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)求出f[f（x）]的解析式，再利用二項式展開式的通項公式即可求出展開式的常數(shù)項．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{1}{x}）^{8}，x＜0}\\{-\sqrt{x}，x≥0}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x＞0時，f[f（x）]=f（-$\sqrt{x}$）=${（-\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{8}$=${（\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{8}$，
其展開式的通項公式為
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•${（\sqrt{x}）}^{8-r}$•${（-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{r}$=（-1）^r•${C}_{8}^{r}$•x^4-r，
令4-r=0，解得r=4；
∴展開式的常數(shù)項為：
T₅=（-1）⁴•${C}_{8}^{4}$=70．
故選：D．

點評 本題考查了分段函數(shù)與二項式展開式通項公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．