Question

15．已知函數(shù)f（x）=mx²+（m-3）x+1
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）的圖象與x軸的交點至少有一個在原點右側(cè)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先對m分類討論，求出函數(shù)解析式，根據(jù)解析式求出單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)m=0時，檢驗是否符合要求；當(dāng)m≠0，討論函數(shù)零點在原點的兩側(cè)各有一個和都在原點的右側(cè)．

解答 解：（1）由題意知，函數(shù)f（x）的定義域為R．
當(dāng)m=0時，f（x）=-3x+1，f（-x）≠f（x），f（x）不為偶函數(shù)，故舍去．
當(dāng)m≠0時，f（x）為偶函數(shù)，故可有：f（-1）=f（1），帶入解析式后：m-3=-m+3⇒a=3；
∴f（x）=3x²+1
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（0，+∞）．
（2）當(dāng) m=0時，函數(shù)f（x）=-3x+1與x軸交點為x₀（$\frac{1}{3}$，0），
故x₀點在原點右側(cè)，滿足題意．
當(dāng)m≠0時，設(shè)函數(shù)的零點為x₁，x₂
（Ⅰ）原點的兩側(cè)各有一個，則
$\left\{\begin{array}{l}{△=（m-3）^{2}-4m＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{m}＜0}\end{array}\right.$⇒m＜0；
（Ⅱ）都在原點的右側(cè)，則
$\left\{\begin{array}{l}{△=（m-3）^{2}-4m≥0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{3-m}{m}＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{m}＞0}\end{array}\right.$⇒0＜m≤1；
綜上：a的取值范圍為：（-∞，1]

點評 本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)、單調(diào)性，以及一元二次函數(shù)零點位置討論，屬中等題．