Question

13．（1）用分析法證明：$\sqrt{a}-\sqrt{a-1}＞\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1}$（a＞1）
（2）用反證法證明：當a，b，c均為正數(shù)，$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$，三個數(shù)至少有一個不小于2．

Answer 1

分析 （1）利用分析法的語言，需證其充分條件成立，直至0＞-2顯然成立，從而可知原結論成立．
（2）假設$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$都小于2，則a+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$＜6．再結合基本不等式，引出矛盾，即可得出結論．

解答 證明：（1）∵a＞1，
要證：$\sqrt{a}-\sqrt{a-1}＞\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1}$成立，
需證：$\sqrt{a}$+$\sqrt{a+1}$＞$\sqrt{a+2}$+$\sqrt{a-1}$成立，
即證：2a+1+2$\sqrt{a（a+1）}$＞2a+2+2$\sqrt{（a+2）（a-1）}$
即證：a²+a＞a²+a-2成立，
即證：0＞-2，該式顯然成立，故原不等式成立．
（2）假設$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$都小于2，則a+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$＜6．
∵a、b、c∈R⁺，
∴a+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$=a+$\frac{1}{a}$+b+$\frac{1}$+c≥+$\frac{1}{c}$2+2+2=6，矛盾．
∴$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$中至少有一個不小于2．

點評 本題考查不等式的證明，著重考查分析法、反證法的應用，考查推理能力，用反證法證明數(shù)學命題的方法和步驟，把要證的結論進行否定，得到要證的結論的反面，屬于中檔題．