Question

3．某學校為倡導全體學生為特困學生捐款，舉行“一元錢，一片心，誠信用水”活動，學生在購水處每領取一瓶礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢．現(xiàn)統(tǒng)計了連續(xù)5天的售出和收益情況，如表：

售出水量x（單位：箱）	7	6	6	5	6
收益y（單位：元）	165	142	148	125	150

（Ⅰ） 若某天售出8箱水，求預計收益是多少元？
（Ⅱ） 期中考試以后，學校決定將誠信用水的收益，以獎學金的形式獎勵給品學兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生考入年級前200名，獲一等獎學金500元；考入年級201-500名，獲二等獎學金300元；考入年級501名以后的特困生將不獲得獎學金．甲、乙兩名學生獲一等獎學金的概率均為$\frac{2}{5}$，獲二等獎學金的概率均為$\frac{1}{3}$，不獲得獎學金的概率均為$\frac{4}{15}$．
（1）在學生甲獲得獎學金條件下，求他獲得一等獎學金的概率；
（2）已知甲、乙兩名學生獲得哪個等級的獎學金是相互獨立的，求甲、乙兩名學生所獲得獎學金總金額X的分布列及數(shù)學期望
附：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$，$\overline{x}$=6，$\overline{y}$=146，$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=4420，$\sum_{i=1}^{5}$x_i²=182．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出$\widehat$、$\widehat{a}$，從而求出回歸方程，將x=8代入求出即可；
（Ⅱ）設事件A為“學生甲獲得獎學金”，事件B為“學生甲獲得一等獎學金”，求出概率即可；
（Ⅲ）計算對應的P（X）的值，求出其分布列和期望值即可．

解答 解：（Ⅰ）$\widehat$=$\frac{{{\sum_{i=1}^{5}x}_{i}y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{{{\sum_{i=1}^{5}x}_{i}}^{2}-{5\overline{x}}^{2}}$=$\frac{4420-5×6×146}{182-5{×6}^{2}}$=20…（2分）
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\overline$x=146-20×6=26…（3分）
∴$\widehat{y}$=20x=26，
當x=8時，$\widehat{y}$=20×8+26=186（元）
即某天售出8箱水的預計收益是186元…（5分）
（Ⅱ） （1）設事件A為“學生甲獲得獎學金”，事件B為“學生甲獲得一等獎學金”，則
P$（\frac{B}{A}）$=$\frac{P（AB）}{p（A）}$=$\frac{\frac{2}{5}}{\frac{11}{15}}$=$\frac{6}{11}$，
即學生甲獲得獎學金的條件下，獲得一等獎學金的概率為$\frac{6}{11}$ …（7分）
（2）X的取值可能為0，300，500，600，800，1000
P（X=0）=$\frac{4}{15}$×$\frac{4}{15}$=$\frac{16}{225}$，P（X=300）=${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{4}{15}$=$\frac{8}{45}$，
P（X=500）=${C}_{2}^{1}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{4}{15}$=$\frac{16}{75}$，P（X=600）=${（\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{1}{9}$，
P（X=800）=${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{15}$，P（X=1000）=${（\frac{2}{5}）}^{2}$=$\frac{4}{25}$，
即X的分布列為

X	0	300	500	600	800	1000
P	$\frac{16}{225}$	$\frac{8}{45}$	$\frac{16}{75}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{4}{25}$

…（10分）
X的數(shù)學期望
E（X）=0×$\frac{6}{225}$+300×$\frac{8}{45}$+500×$\frac{16}{75}$+600×$\frac{1}{9}$+800×$\frac{4}{15}$+1000×$\frac{4}{25}$=600（元）…（12分）

點評 本題考查了回歸方程，考查分布列問題，是一道中檔題．