Question

11．已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若對(duì)任意的x∈[0，1]，總存在唯一的y∈[-1，1]，使得x+y²e^y-a=0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（1+\frac{1}{e}，e]$．

Answer 1

分析 由x+y²e^y-a=0成立，解得y²e^y=a-x，根據(jù)題意可得：a-1≥（-1）²e^-1，且a-0≤1²×e¹，解出并且驗(yàn)證等號(hào)是否成立即可得出．

解答 解：由x+y²e^y-a=0成立，得y²e^y=a-x，
∴對(duì)任意的x∈[0，1]，總存在唯一的y∈[-1，1]，使得x+y²e^y-a=0成立，
∴a-1≥（-1）²e^-1，且a-0≤1²×e¹，
解得1+$\frac{1}{e}$≤a≤e，
其中a=1+$\frac{1}{e}$時(shí)，y存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，因此舍去，
a的取值范圍是（1+$\frac{1}{e}$，e]．
故答案為：$（1+\frac{1}{e}，e]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．