Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b，c為常數(shù)），對(duì)任意α∈R、β∈R，恒有f（sinα）≥0，且f（2+cosβ）≤0
（1）求f（1）的值
（2）求證：c≥3
（3）若f（sinα）的最大值為8，求f（x）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）由sinα，sinβ的有界性以及f（sinα）≥0，f（2+sinβ）≤0；可以求出f（1）的值；
（2）由二次函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸以及f（1）的值，可以證出c≥3；
（3）由題意，判定f（-1）是f（x）在[-1，1]的最大值；又由（1）知f（1）的值；由此求出b、c的值，即得f（x）的表達(dá)式．

解答 解：（1）∵-1≤sinα≤1，1≤2+sinβ≤3，
且對(duì)任意α，β∈R都有f（sinα）≥0，f（2+sinβ）≤0；
∴對(duì)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）≥0，對(duì)x∈[1，3]時(shí)，f（x）≤0；
∴f（1）=0．                                                      
證明：（2）∵對(duì)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）≥0，對(duì)x∈[1，3]時(shí)，f（x）≤0，
∴二次函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸滿(mǎn)足：x=-$\frac{2}$，
∴b≤-4；
由（1）知，f（1）=0，
∴1+b+c=0，
∴c=-b-1≥4-1=3．
解：（3）∵f（sinα）的最大值為8，
∴f（x）在[-1，1]的最大值為8；
又∵二次函數(shù)f（x）圖象開(kāi)口向上且對(duì)稱(chēng)軸：x=-$\frac{2}$，
∴f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴f（-1）=8，
∴1-b+c=8①；
又由（1）知，f（1）=0，
∴1+b+c=0②；
聯(lián)立①②，解得b=-4，c=3，
∴f（x）的表達(dá)式為f（x）=x²-4x+3

點(diǎn)評(píng) 本題結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．