Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*）．
（1）求證：{

1

an

+

1

2

}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=

2

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*）．兩邊取倒數(shù)可得：

1

an+1

=1+

3

an

，變形為

1

an+1

+

1

2

=3(

1

an

+

1

2

)，即可證明；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=

2

an

=3ⁿ-1，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： （1）證明：∵a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*）．
兩邊取倒數(shù)可得：

1

an+1

=1+

3

an

，
∴

1

an+1

+

1

2

=3(

1

an

+

1

2

)，
又

1

a1

+

1

2

=

3

2

，
∴：{

1

an

+

1

2

}是等比數(shù)列，
∴

1

an

+

1

2

=

3

2

×3n-1，
∴a_n=

2

3n-1

．
（2）解：∵數(shù)列{b_n}滿足b_n=

2

an

=3ⁿ-1，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=3+3²+…+3ⁿ-n
=

3(3n-1)

2

-n
=

3n+1-3

2

-n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“取倒數(shù)”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．