Question

已知函數(shù)h（x）=（m²-5m+1）x^m+1為冪函數(shù)，且為奇函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）求函數(shù)g（x）=h（x）+

1-2h(x)

在x∈[0，

1

2

]的值域．

Answer 1

考點：冪函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）首先根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)，可知m²-5m+1=1，再驗證相應函數(shù)的奇偶性，即可求得實數(shù)m的值，
（2）化簡g（x），再求導，根據(jù)導數(shù)判斷g（x）在∈[0，

1

2

]的為減函數(shù)，故求出值域

解答： 解：（1）∵函數(shù)h（x）=（m²-5m+1）x^m+1為冪函數(shù)，
∴m²-5m+1=1，
∴m=5或m=0，
當m=5時，h（x）=x⁶是偶函數(shù)，不滿足題意，
當m=0時，h（x）=x是奇函數(shù)，滿足題意；
∴m=0，
（2）∵g（x）=x+

1-2x

，
∴g′（x）=1-

1

1-2x

，
令g′（x）=0，解得x=0，
當g′（x）＜0時，即x＞0時，函數(shù)為減函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）在[0，

1

2

]為減函數(shù)，
∴g（

1

2

）≤g（x）≤g（0）
即

1

2

≤g（x）≤1
故函數(shù)g（x）的值域為[

1

2

，1]

點評：本題考查的重點是冪函數(shù)的定義，函數(shù)奇偶性，以及利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．