Question

6．如圖，在xoy平面上，點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B在單位圓上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）
（1）若點(diǎn)B（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），求tan（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）若四邊形OACB是平行四邊形，它的面積用S_θ表示，求S_θ+1+cosθ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的余弦函數(shù)公式計(jì)算tan$\frac{θ}{2}$，代入和角的正切公式計(jì)算；
（2）利用三角形的面積公式求出S_θ=sinθ，使用輔助角公式得出S_θ+1+cosθ關(guān)于θ的函數(shù)，根據(jù)θ的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最值．

解答 解：（1）∵0＜θ＜π，∴0＜$\frac{θ}{2}$＜$\frac{π}{2}$，
∵tanθ=$\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}$=-$\frac{4}{3}$，
又tanθ=$\frac{2tan\frac{θ}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{θ}{2}}$=-$\frac{4}{3}$．
∴tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{1}{2}$．
∴tan（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tan\frac{θ}{2}+tan\frac{π}{4}}{1-tan\frac{θ}{2}tan\frac{π}{4}}$=$\frac{\frac{1}{2}+1}{1-\frac{1}{2}}$=3．
（2）連結(jié)AB，則S_△AOB=$\frac{1}{2}OA•OB•sinθ$=$\frac{1}{2}sinθ$，
∴S_θ=2S_△AOB=sinθ，
∴S_θ+1+cosθ=1+sinθ+cosθ=1+$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）．
∵0＜θ＜π，∴$\frac{π}{4}＜$$θ+\frac{π}{4}$＜$\frac{5π}{4}$．
∴當(dāng)$θ+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，1+$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）取得最大值1+$\sqrt{2}$．
當(dāng)$θ+\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$時(shí)，1+$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）取得最小值0．
∴S_θ+1+cosθ的取值范圍是（0，1+$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．