Question

7．已知函數(shù)f（x）=2x-2-ke^x．
（1）當(dāng)x≥2時，f（x）≤0，求k的取值范圍；
（2）當(dāng)k=-1時，設(shè)g（x）=x²+f（x），求證：g（x）＞-3．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的最大值，從而求出k的范圍即可；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值，證出結(jié)論即可．

解答 解：（1）f′（x）=2-ke^x，
k≤0時，f′（x）＞0，
f（x）在[2，+∞）遞增，無最大值，不合題意，
k＞0時，令f′（x）=0，解得：x=ln$\frac{2}{k}$，
0＜k＜$\frac{2}{{e}^{2}}$時，ln$\frac{2}{k}$＞2，
∴f（x）在[2，ln$\frac{2}{k}$）遞增，在（ln$\frac{2}{k}$，+∞）遞減，
f（x）_max=f（ln$\frac{2}{k}$）=$\frac{4}{k}$-2-2≤0，
解得：k≥1，不合題意；
k≥$\frac{2}{{e}^{2}}$時，f（x）在[2，+∞）遞減，
f（x）_max=f（2）=2-ke²≤0，
解得：k≥$\frac{2}{{e}^{2}}$，符合題意，
綜上，k∈[$\frac{2}{{e}^{2}}$，+∞）；
證明：（2）k=-1時，g（x）=x²+2x-2+e^x，
g′（x）=2x+2+e^x，g″（x）=2+e^x＞0，
故g′（x）在R遞增，而g′（-1）≈0，
故g（x）在（-∞，-1）遞減，在（-1，+∞）遞增，
∴g（x）＞g（-1）=-3+$\frac{1}{e}$＞-3．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．