Question

2．已知$\overrightarrow p=（{2，\sqrt{3}}），\overrightarrow q=（{{{cos}^2}\frac{A}{2}，sin（{B+C}）}）$，其中A，B，C是△ABC的內角．
（1）當$A=\frac{π}{3}$時，求$|{\overrightarrow q}|$的值；
（2）若$C=\frac{5π}{12}，AC=2\sqrt{3}$，當$\overrightarrow p，\overrightarrow q$取最大值是，求B的大小及BC邊的長．

Answer 1

分析 （1）由角A可得$\overrightarrow{q}$的坐標，代入向量模的公式計算$|{\overrightarrow q}|$的值；
（2）由數(shù)量積的坐標運算得到$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}$，利用輔助角公式化積，可得當A=$\frac{π}{3}$時，$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}$取得最大值，求出對應的B值，再由正弦定理求得BC邊的長．

解答 解：（1）當$A=\frac{π}{3}$時，$\overrightarrow{q}=（\frac{1+cosA}{2}，sinA）=（\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
∴$|\overrightarrow{q}|=\sqrt{（\frac{3}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{21}}{4}$；
（2）$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}=2•\frac{1+cosA}{2}+\sqrt{3}sinA$=$\sqrt{3}sinA+cosA+1=2sin（A+\frac{π}{6}）+1$．
∴當A=$\frac{π}{3}$時，$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}$取得最大值，此時B=$π-A-C=π-\frac{π}{3}-\frac{5π}{12}=\frac{π}{4}$，
根據(jù)正弦定理：$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$，得$BC=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查三角函數(shù)的圖象和性質，是中檔題．