Question

9．給出A_n=2ⁿ，B_n=n²+1，n∈N₊，現(xiàn)比較二者的大小．
（1）分別取n=1，2，3，4，5加以試驗(yàn)，
（2）①根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果猜測(cè)一個(gè)一般性的結(jié)論；
②用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）分別代值計(jì)算即可，
（2）①于是可猜測(cè)：2ⁿ＞n²+1（n≥5），2ⁿ＜n²+1（n＜5），
②對(duì)于2ⁿ＜n²+1（n＜5），通過(guò)（1）即可說(shuō)明，
對(duì)于2ⁿ＞n²+1（n≥5），利用數(shù)學(xué)歸納法證明，利用該歸納假設(shè)，取推證當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，2ⁿ=2，n²+1=2，2ⁿ=n²+1，
當(dāng)n=2時(shí)，2ⁿ=4，n²+1=5，2ⁿ＜n²+1，
當(dāng)n=3時(shí)，2ⁿ=8，n²+1=5，2ⁿ＜n²+1，
當(dāng)n=4時(shí)，2ⁿ=16，n²+1=17，2ⁿ＜n²+1；
當(dāng)n=5時(shí)，2ⁿ=32，n²+1=26，2ⁿ＞n²+1；
于是可猜測(cè)：2ⁿ＞n²+1（n≥5），2ⁿ＜n²+1（n＜5），
（2）①于是可猜測(cè)：2ⁿ＞n²+1（n≥5），2ⁿ＜n²+1（n＜5），
②對(duì)于2ⁿ＜n²+1（n＜5），通過(guò)（1）即可說(shuō)明，
對(duì)于2ⁿ＞n²+1（n≥5），
（i）當(dāng)n=5時(shí)，均有左端＞右端，不等式成立；
（ii）②假設(shè)n=k（k≥5，k∈N^*）時(shí)不等式成立，即2^k＞k²+1
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
左邊=2^k+1=2×2^k＞2（k²+1）=2k²+2
右邊=（k+1）²+1=k²+2k+2，
∵k²+k²+2-（k²+2k+2）=k²-2k=k（k-2）≥0，
∴當(dāng)k≥5時(shí)，2k²+2≥（k+1）²+1
即當(dāng)n=k+1時(shí)，2^k+1＞（k+1）²+1不等式成立；
由（i）（ii）可得，2ⁿ＞n²+1（n≥5），
綜上所述，2ⁿ＞n²+1（n≥5），2ⁿ＜n²+1（n＜5）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，著重考查變形、推理與論證的能力，屬于中檔題．