7．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{2}$，求證：∠B必為銳角．

分析 使用余弦定理，由已知求出b=$\frac{2ac}{a+c}$，計算cosB＞0，即可得證∠B必為銳角．

解答 證明：由已知$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{2}$，
可得b=$\frac{2ac}{a+c}$，
所以a2+c2-b2=a2+c2-（$\frac{2ac}{a+c}$）2≥2ac-$\frac{4{a}^{2}{c}^{2}}{（a+c）^{2}}$=2ac（1-$\frac{2ac}{（a+c）^{2}}$）≥2ac（1-$\frac{2ac}{4ac}$）＞0．
即cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$＞0，
由于B∈（0，π），
故0＜B$＜\frac{π}{2}$，即∠B必為銳角，得證．

點評 本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

17．“a＞3”是“函數(shù)f（x）=x2-2ax-2在區(qū)間（-∞，2]內(nèi)單調(diào)遞減”的（　�。�
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既不充分也必要條件

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

18．在生產(chǎn)過程中，測得纖維產(chǎn)品的纖度（表示纖維粗細的一種量）共有100個數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如表（頻率分布表），并畫出了頻率分布直方圖．
（1）估計纖度落在[1.38，1.50）的概率及纖度小于1.40的概率；
（2）從頻率分布直方圖估計出纖度的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)．
分 組頻 數(shù)頻 率
[1.30，1.34）40.04
[1.34，1.38）250.25
[1.38，1.42）300.30
[1.42，1.46）290.29
[1.46，1.50）100.10
[1.50，1.54]20.02
合 計1001

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

15．在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，7件二等品，從這10件產(chǎn)品中任取3件，則取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率（　　）
A．$\frac{1}{120}$B．$\frac{7}{40}$C．$\frac{11}{60}$D．$\frac{21}{40}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

2．函數(shù)f（x）=sinαcosα的周期為（　�。�
A．$\frac{π}{4}$B．$\frac{π}{2}$C．2πD．π

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

12．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）=0，當x＞0時，有xf′（x）-f（x）＜0恒成立，則不等式$\frac{f（x）}{x}$＞0 的解集為（　�。�
A．（-2，0）∪（2，+∞）B．（-2，0）∪（0，2）C．（-∞，-2）∪（0，2）D．（-∞，-2）∪（2，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

19．已知正實數(shù)x，y滿足x-y=xy，x-4y-a=0，則實數(shù)a的取值范圍為[-1，+∞）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

16．函數(shù)y=$\sqrt{8-{2^x}_{\;}}$的值域是（　　）
A．[0，+∞）B．$[{0，2\sqrt{2}}]$C．$（{0，2\sqrt{2}}）$D．$[{0，2\sqrt{2}}）$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

17．[x]表示不超過x的最大整數(shù)，若f′（x）是函數(shù)f（x）=ln|x|導(dǎo)函數(shù)，設(shè)g（x）=f（x）f′（x），則函數(shù)f=[g（x）]+[g（-x）]的值域是（　　）
A．{-1，0}B．{0，1}C．{0}D．{偶數(shù)}

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