Question

15．已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}^{2}}{t{a}_{n}+2}$
（Ⅰ）若t=0，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若t=1，求證：$\frac{2}{3}≤\frac{2{a}_{1}}{{a}_{1}+2}+\frac{4{a}_{2}}{{a}_{2}+2}+\frac{6{a}_{3}}{{a}_{3}+2}+…+\frac{2n{a}_{n}}{{a}_{n}+2}＜\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過t=0可知a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2}$，進而取對數(shù)、變形可知lna_n+1-ln2=2（lna_n-ln2），計算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過a₁=1可知a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n}+2}$且a_n＞0，放縮即得$\frac{2{a}_{1}}{{a}_{1}+2}$+$\frac{4{a}_{2}}{{a}_{2}+2}$+…+$\frac{2n{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$≥$\frac{2}{3}$，利用a_n+1-a_n=$\frac{-2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$＜0可知數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，進而可知a_n+1≤$\frac{1}{3}$a_n，即a_n≤$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，利用a_n+1-a_n=-$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$轉(zhuǎn)化、相加即得結(jié)論．

解答 證明：（Ⅰ）若t=0，則a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2}$，
由a₁=1可知a_n＞0，
從而lna_n+1=2lna_n-ln2，
從而lna_n+1-ln2=2（lna_n-ln2），即ln$\frac{{a}_{n+1}}{2}$=2ln$\frac{{a}_{n}}{2}$，
又∵ln$\frac{{a}_{1}}{2}$=ln2^-1，
∴數(shù)列{ln$\frac{{a}_{n}}{2}$}是首項為ln2^-1、公比為2的等比數(shù)列，
∴l(xiāng)n$\frac{{a}_{n}}{2}$=2^n-1ln2^-1=ln${2}^{-{2}^{n-1}}$，即a_n=${2}^{1-{2}^{n-1}}$；
（Ⅱ）首先，由a₁=1，a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n}+2}$，可知a_n＞0，
則：$\frac{2{a}_{1}}{{a}_{1}+2}$+$\frac{4{a}_{2}}{{a}_{2}+2}$+…+$\frac{2n{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$≥$\frac{2{a}_{1}}{{a}_{1}+2}$=$\frac{2}{3}$，
∵a_n+1-a_n=$\frac{-2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$＜0，
∴數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$=1-$\frac{2}{{a}_{n}+2}$≤1-$\frac{2}{{a}_{1}+2}$=$\frac{1}{3}$，即a_n+1≤$\frac{1}{3}$a_n，
∴a_n≤$\frac{1}{{3}^{n-1}}$a₁=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
又∵a_n+1-a_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n}+2}$-a_n=-$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，
∴$\frac{2{a}_{1}}{{a}_{1}+2}$+$\frac{4{a}_{2}}{{a}_{2}+2}$+…+$\frac{2n{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$=（a₁-a₂）+2（a₂-a₃）+3（a₃-a₄）+…+n（a_n-a_n+1）
=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-na_n+1
＜1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$＜$\frac{3}{2}$，
綜上所述：$\frac{2}{3}≤\frac{2{a}_{1}}{{a}_{1}+2}+\frac{4{a}_{2}}{{a}_{2}+2}+\frac{6{a}_{3}}{{a}_{3}+2}+…+\frac{2n{a}_{n}}{{a}_{n}+2}＜\frac{3}{2}$．

點評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查放縮法，考查數(shù)列的通項及前n項和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．