Question

14．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右兩焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在橢圓上，正三角形△POF₂面積為$\sqrt{3}$，則橢圓的方程為$\frac{x^2}{{2\sqrt{3}+4}}+\frac{y^2}{{2\sqrt{3}}}=1$．

Answer 1

分析 邊OF₂的中點(diǎn)為$\frac{c}{2}$，把$x=\frac{c}{2}$代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得|y|=$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}}{2a}$．可得$\frac{1}{2}×\frac{c}{2}$×$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}}{2a}$=$\sqrt{3}$，|y|=$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}}{2a}$=$\frac{c}{2}$×$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²．聯(lián)立解得即可得出．

解答 解：邊OF₂的中點(diǎn)為$\frac{c}{2}$，把$x=\frac{c}{2}$代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得|y|=$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}}{2a}$．
∴$\frac{1}{2}×\frac{c}{2}$×$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}}{2a}$=$\sqrt{3}$，|y|=$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}}{2a}$=$\frac{c}{2}$×$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²．
聯(lián)立解得b²=2$\sqrt{3}$，a²=2$\sqrt{3}$+4，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{{2\sqrt{3}+4}}+\frac{y^2}{{2\sqrt{3}}}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{{2\sqrt{3}+4}}+\frac{y^2}{{2\sqrt{3}}}=1$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．