Question

1．已知P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是以原點O為圓心的單位圓上的兩點，∠P₁OP₂=θ（θ為鈍角）．若sin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，則x₁x₂+y₁y₂的值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{6}$
• B． -$\frac{\sqrt{2}}{5}$
• C． -$\frac{\sqrt{2}}{10}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{12}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意表示出$\overrightarrow{O{P}_{1}}$•$\overrightarrow{O{P}_{2}}$，根據(jù)向量數(shù)量積的運算求得x₁x₂+y₁y₂=cosθ，進而根據(jù)sin（θ+$\frac{π}{4}$）的值，求得cosθ的值．

解答 解：由題意可得$\frac{π}{2}$＜θ＜π，sin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$＞0，
∴$θ+\frac{π}{4}$是鈍角，∴cos（$θ+\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{5}$，
依題意知$\overrightarrow{O{P}_{1}}$=（x₁，y₁）
$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=（x₂，y₂），
則$\overrightarrow{O{P}_{1}}$•$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=x₁x₂+y₁y₂，
另外P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）在單位圓上，|$\overrightarrow{O{P}_{1}}$|=|$\overrightarrow{O{P}_{2}}$|=1
$\overrightarrow{O{P}_{1}}$•$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=|$\overrightarrow{O{P}_{1}}$|•|$\overrightarrow{O{P}_{2}}$|cosθ=1•1•cosθ=cosθ，
∴x₁x₂+y₁y₂=cosθ，
∵cosθ=cos（θ+$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）=cos（θ+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+sin（θ+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
故選：C

點評 本題主要考查了是平面向量的運算，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積，以及利用兩角和差的余弦公式是解決本題的關(guān)鍵，注重了對學(xué)生基礎(chǔ)知識的考查．