Question

11．設(shè)f（x）是定義域在R上的偶函數(shù)，對x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，至多有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[{\root{3}{4}，2}）$．

Answer 1

分析 由已知中可以得到函數(shù)f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，且周期為4，根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的與函數(shù)y=-log_a^x+2的圖象至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，至多有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，利用數(shù)形結(jié)合即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵對于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），
∴f（x）=f（x+4），即函數(shù)f（x）是一個(gè)周期為4的周期函數(shù)，
又∵當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，且函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，至多有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
則函數(shù)y=f（x）與y=log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6]上至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，至多有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，如下圖所示：

又f（-2）=f（2）=3，
則對于函數(shù)y=log_a（x+2），由題意可得，當(dāng)x=2時(shí)的函數(shù)值小于等于3，當(dāng)x=6時(shí)的函數(shù)值大于3，
即$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}4≤3}\\{lo{g}_{a}8＞3}\end{array}\right.$，由此解得：$\root{3}{4}$≤a＜2，
故答案為：[$\root{3}{4}$，2）．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中根據(jù)方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，是解答本題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．