Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1-|{x+1}|，x∈[-2，0]\\ 2f（x-2），x∈（0，+∞）\end{array}$，若函數(shù)h（x）=f（x）-x-a在區(qū)間[-2，4]內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，0）∪{1}．

Answer 1

分析 作出函數(shù)y=f（x）和y=x+a的圖象．利用兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題確定a的取值范圍．

解答 解：若0≤x≤2，則-2≤x-2≤0，
∴f（x）=2f（x-2）=2（1-|x-2+1|）=2-2|x-1|，0≤x≤2．
若2≤x≤4，則0≤x-2≤2，
∴f（x）=2f（x-2）=2（2-2|x-2-1|）=4-4|x-3|，2≤x≤4．
∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=4．
設(shè)y=f（x）和y=x+a，則方程f（x）=x+a在區(qū)間[-2，4]內(nèi)有3個(gè)不等實(shí)根，、
等價(jià)為函數(shù)y=f（x）和y=x+a在區(qū)間[-2，4]內(nèi)有3個(gè)不同的零點(diǎn)．
作出函數(shù)f（x）和y=x+a的圖象，如圖：
，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）時(shí)，兩個(gè)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線y=x+a為y=x-2，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O（0，0）時(shí)，兩個(gè)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線y=x+a為y=x，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，4）和C（1，2）時(shí)，兩個(gè)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線y=x+a為y=x+1，
∴要使方程f（x）=x+a在區(qū)間[-2，4]內(nèi)有3個(gè)不等實(shí)根，
則a=1或-2＜a＜0．
故答案為：（-2，0）∪{1}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問(wèn)題的基本方法．