7.已知函數(shù)f(x)=ax3-$\frac{3}{2}$x2+1(x∈R),其中a>0.
(1)若a=1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
(2)若對(duì)?x∈[-1,$\frac{1}{2}$],不等式f(x)<a2恒成立,求a的取值范圍.

分析 (1)利用導(dǎo)數(shù)求出x=2處的斜率,根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程;
(2)要使對(duì)?x∈[-1,$\frac{1}{2}$],不等式f(x)<a2恒成立,即f(x)max<a2;利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出f(x)的最大值即可.

解答 解:(1)由a=1,所以f(x)=x3-$\frac{3}{2}{x}^{2}$+1,f(2)=3;
又f'(x)=3x2-3x,所以k=f'(x)=6;
所以切線方程為y-3=6(x-2);
切線方程為:y=6x-9.
(2)f'(x)=3ax2-3x            
令f'(x)=3ax2-3x=0;⇒x1=0,x2=$\frac{1}{a}$;
因?yàn)閍>0,所以y=f(x)在(-∞,0],[$\frac{1}{a}$,+∞)遞增,在(0,$\frac{1}{a}$)遞減;
要使對(duì)?x∈[-1,$\frac{1}{2}$],不等式f(x)<a2恒成立,即f(x)max<a2,
1°.當(dāng)$\frac{1}{2}≤\frac{1}{a}$時(shí),即0<a≤2時(shí),y=f(x)在[-1,0]遞增,在(0,$\frac{1}{2}$)遞減;
f(x)max=f(0)=1<a2  所以1<a≤2;              
2°.當(dāng)$\frac{1}{a}<\frac{1}{2}$時(shí),即a>2時(shí),y=f(x)在[-1,0]遞增,在(0,$\frac{1}{a}$)遞減,在[$\frac{1}{a}$,$\frac{1}{2}$]遞增;
 $f(x)_{max}=max\{f(0),f(\frac{1}{2})\}$,f($\frac{1}{2}$)=$\frac{a+5}{8}$=f(0)=1⇒a=3;        
①當(dāng)2<a<3時(shí),$f(x)_{max}=max\{f(0),f(\frac{1}{2})\}$=f(0)=1<a2  所以2<a<3;
②當(dāng)a≥3時(shí),$f(x)_{max}=max\{f(0),f(\frac{1}{2})\}$=f($\frac{1}{2}$)<a2,
即8a2-a-5>0 對(duì)?a≥3都成立;             
綜合1,2得:a>1

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求斜率,直線方程以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與最值等知識(shí)點(diǎn),屬中等題.

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⑤f(x)是定義域在R上的奇函數(shù),且滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)均有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|.
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