Question

11．如圖所示，在△ABC中，點D為BC邊上一點，且BD=1，E為AC的中點，AE=$\frac{3}{2}$，cosB=$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，∠ADB=$\frac{2π}{3}$．
（1）求AD的長；
（2）求△ADE的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinB，進而利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sin∠BAD，利用正弦定理即可求得AD的值．
（2）由（1）可求AC=2AE=3，由余弦定理可求DC的值，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）在△ABD中，∵$cosB=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}，B∈（{0，π}）$，
∴$sinB=\sqrt{1-{{cos}^2}B}=\sqrt{1-{{（{\frac{{2\sqrt{7}}}{7}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
∴$sin∠BAD=sin（{B+∠ADB}）=\frac{{\sqrt{21}}}{7}•（{-\frac{1}{2}}）+\frac{{2\sqrt{7}}}{7}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$，
由正弦定理$\frac{AD}{sinB}=\frac{BD}{sin∠BAD}$，知 $AD=\frac{BD}{sin∠BAD}=\frac{{1×\frac{{\sqrt{21}}}{7}}}{{\frac{{\sqrt{21}}}{14}}}=2$．
（2）由（1）知AD=2，依題意得AC=2AE=3，
在△ACD中，由余弦定理得AC²=AD²+DC²-2AD•CDcos∠ADC，即$9=4+D{C^2}-2×2×CDcos\frac{π}{3}$，
∴DC²-2DC-5=0，解得$DC=1+\sqrt{6}$（負值舍去）．
∴${S_{△ADC}}=\frac{1}{2}AD•DCsin∠ADC=\frac{1}{2}×2×（{1+\sqrt{6}}）×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}}{2}$，
從而${S_{△ADE}}=\frac{1}{2}{S_{△ADC}}=\frac{{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}}{4}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，數(shù)形結合思想，屬于中檔題．