Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₃=3；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}的前k項(xiàng)和S_k=36，求k的值；
（3）證明：數(shù)列{a_n-1}也是等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d，由題意和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出d，再代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)即可；
（2）由（1）和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得Sn=

n(1+n)

2

，列出關(guān)于k的方程再求出k的值；
（3）由（1）可得a_n-1=n-1，利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列{a_n-1}是等差數(shù)列．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d，
因?yàn)閍₁=1，a₃=3，所以d=

a3-a1

3-1

=1，
則a_n=1+（n-1）×1=n；
（2）由（1）得，Sn=

n(1+n)

2

，
所以S_k=

k(1+k)

2

=36，解得k=9或k=-8（舍去），
則k的值是9；
證明：（3）由（1）可得，a_n-1=n-1，
所以（a_n+1-1）-（a_n-1）=a_n+1-a_n=d=1，
所以數(shù)列{a_n-1}是以1為公差的等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明：定義法，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題．