Question

【題目】已知圓的任意一條切線l與橢圓都有兩個不同交點A，B（O是坐標原點）

（1）求圓O半徑r的取值范圍；

（2）是否存在圓O，使得恒成立？若存在，求出圓O的方程及的最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見詳解

【解析】

（1）圓的中心是原點，橢圓的短半軸長為，根據圓和橢圓的位置關系分析即得；（2）當圓的切線的斜率存在時，設，圓的切線為，與聯立，可得，根據韋達定理和，可得和的關系式，再由圓心到切線的距離等于半徑，可得，解出，即得；當切線斜率不存在時，可得上述圓的切線，進而求出切點，驗證滿足即可，故使得恒成立的圓存在；當切線斜率存在且不等于時，則有，由韋達定理和基本不等式可得的最大值，當切線斜率不存在或等于時，可知的值，選兩者中的最大值，再由，計算即得.

（1）當時，圓在橢圓內部，切點在橢圓內，圓的每一條切線都過橢圓內部的點，切線與橢圓總有兩個不同交點，滿足題意；當時，圓的切線和都和橢圓最多只有一個公共點，不滿足題意；

故的取值范圍是.

（2）當圓的切線的斜率存在時，設圓的切線為，設，由消去得：，則，，則，由得，即，，又由與圓相切得，即，解得，此時圓的方程為.

當切線斜率不存在時，上述圓的切線為或，這兩條切線與橢圓的交點為，或，，也滿足，故滿足條件的圓存在，其方程為.

當切線斜率存在且不等于時，因為，當且僅當時取等號；

當切線斜率不存在或等于時，，則，又，故，則.