Question

已知a+b=1，對?a，b∈（0，+∞），

1

a

+

4

b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立，
（Ⅰ）求

1

a

+

4

b

的最小值；
（Ⅱ）求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用“1”的代換，化簡

1

a

+

4

b

，結(jié)合基本不等式求解表達(dá)式的最小值；
（Ⅱ）利用第一問的結(jié)果．通過絕對值不等式的解法，即可求x的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0且a+b=1
∴

1

a

+

4

b

=(a+b)(

1

a

+

4

b

)=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a • 4a b

=9，
當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)等號(hào)成立，又a+b=1，即a=

1

3

，b=

2

3

時(shí)，等號(hào)成立，
故

1

a

+

4

b

的最小值為9．

（Ⅱ）因?yàn)閷�a，b∈（0，+∞），使

1

a

+

4

b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立，
所以|2x-1|-|x+1|≤9，
當(dāng) x≤-1時(shí)，2-x≤9，∴-7≤x≤-1，
當(dāng) -1＜x＜

1

2

時(shí)，-3x≤9，∴-1＜x＜

1

2

，
當(dāng) x≥

1

2

時(shí)，x-2≤9，∴

1

2

≤x≤11，∴-7≤x≤11．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值基本不等式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．