Question

已知a+b=1，對?a，b∈（0，+∞），

1

a

+

4

b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立，
（Ⅰ）求

1

a

+

4

b

的最小值；
（Ⅱ）求x的取值范圍．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用,函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）利用“1”的代換，化簡

1

a

+

4

b

，結合基本不等式求解表達式的最小值；
（Ⅱ）利用第一問的結果．通過絕對值不等式的解法，即可求x的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0且a+b=1
∴

1

a

+

4

b

=(a+b)(

1

a

+

4

b

)=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a • 4a b

=9，
當且僅當b=2a時等號成立，又a+b=1，即a=

1

3

，b=

2

3

時，等號成立，
故

1

a

+

4

b

的最小值為9．

（Ⅱ）因為對a，b∈（0，+∞），使

1

a

+

4

b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立，
所以|2x-1|-|x+1|≤9，
當 x≤-1時，2-x≤9，∴-7≤x≤-1，
當 -1＜x＜

1

2

時，-3x≤9，∴-1＜x＜

1

2

，
當 x≥

1

2

時，x-2≤9，∴

1

2

≤x≤11，∴-7≤x≤11．

點評：本題考查函數的最值基本不等式的應用，考查分析問題解決問題的能力．