17.已知在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為:$\left\{\begin{array}{l}x=3cost\\ y=2+2sint\end{array}$(t為參數(shù)),P是C上任意一點(diǎn),以x軸的非負(fù)半軸為極軸,原點(diǎn)為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系,并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.
(Ⅰ)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)直線l的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{4}$(ρ∈R),求P到直線l的最大距離.

分析 (Ⅰ)由cos2t+sin2t=1,消去t,化簡(jiǎn)整理,可得曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)解法一、求得直線方程y=x,設(shè)與直線l平行的直線方程為y=x+m,代入曲線方程,運(yùn)用判別式為0,可得m的值,由平行直線的距離公式可得最大值;
解法二、設(shè)點(diǎn)P(3cost,2+2sint),運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和輔助角公式,結(jié)合正弦函數(shù)的值域,即可得到所求最大值.

解答 解:(Ⅰ)由x=3cost,y=2+2sint,且cos2t+sin2t=1,
消去參數(shù)t,得曲線C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{{{{({y-2})}^2}}}{4}=1$.
(Ⅱ)解法一、直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x.
設(shè)與直線l平行的直線方程為y=x+m,代入$\frac{x^2}{9}+\frac{{{{({y-2})}^2}}}{4}=1$,
整理得13x2+18(m-2)x+9[(m-2)2-4]=0.
由△=[18(m-2)]2-4×13×9[(m-2)2-4]=0,得(m-2)2=13,
所以$m=2±\sqrt{13}$.
當(dāng)點(diǎn)P位于直線$y=x+2+\sqrt{13}$與曲線C的交點(diǎn)(切點(diǎn))時(shí),
點(diǎn)P到直線l的距離最大,為$\frac{{2+\sqrt{13}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{2\sqrt{2}+\sqrt{26}}}{2}$.
解法二、設(shè)點(diǎn)P(3cost,2+2sint),
則點(diǎn)P到直線x-y=0的距離為$\frac{{|{3cost-2-2sint}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\sqrt{13}sin({t-φ})+2}|}}{{\sqrt{2}}}$,
其中$cosφ=\frac{2}{{\sqrt{13}}},sinφ=\frac{3}{{\sqrt{13}}}$.
所以距離的最大值是$\frac{{\sqrt{13}+2}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{2\sqrt{2}+\sqrt{26}}}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,注意運(yùn)用同角的平方關(guān)系,考查點(diǎn)到直線的距離的最大值,注意運(yùn)用參數(shù)方程和點(diǎn)到直線的距離公式,以及聯(lián)立直線和曲線方程,運(yùn)用判別式為0,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

7.如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,BE=BF=$\frac{1}{4}$BC,將△AED,△DCF分別沿DE,DF折起,使A,C兩點(diǎn)重合于A′點(diǎn),則三棱錐A′-EFD的體積為( 。
A.$\frac{{\sqrt{21}}}{12}$B.$\frac{{\sqrt{17}}}{12}$C.$\frac{{\sqrt{21}}}{6}$D.$\frac{{\sqrt{17}}}{6}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

8.已知x,y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y>2}\\{x+y≤2}\\{y≥-2}\end{array}\right.$,則z=3x+y的取值范圍為(  )
A.[-2,10)B.(-2,10]C.[6,10]D.(6,10]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

5.若某程序框圖如圖所示,則輸出的S的值是( 。
A.0B.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$C.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$+1D.$\sqrt{2}$+1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

12.已知α∈(-$\frac{π}{2}$,0),且cos2α=sin(α-$\frac{π}{2}}$),則tan$\frac{α}{2}$等于$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

2.某地區(qū)有大型超市x個(gè),中型超市y個(gè),小型超市z個(gè),x:y:z=1:5:9,為了掌握該地區(qū)超市的營(yíng)業(yè)情況,采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為30的樣本,則抽取的中型超市的個(gè)數(shù)為( 。
A.2B.5C.10D.18

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

9.已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=c+$\frac{1}{a_n}$,1≤an≤4成立,則c的取值范圍是[0,3].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

6.已知集合A={x|${\frac{x-2}{x+1$≤0},B={-1,0,1,2,3},則A∩B等于( 。
A.{-1,0,1}B.{1,2,3}C.{0,1,2}D.{1,2,3,4}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

14.為了調(diào)查某中學(xué)學(xué)生在周日上網(wǎng)的時(shí)間,隨機(jī)對(duì)100名男生和100名女生進(jìn)行了不記名的問(wèn)卷調(diào)查,得到了如下統(tǒng)計(jì)結(jié)果:
表1:男生上網(wǎng)時(shí)間與頻數(shù)分布表
 上網(wǎng)時(shí)間(分鐘)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]
 人數(shù) 525  3025  15
表2:女生上網(wǎng)時(shí)間與頻數(shù)分布表
 上網(wǎng)時(shí)間(分鐘)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]
 人數(shù)10  2040  2010 
(1)若該中學(xué)共有女生600人,試估計(jì)其中上網(wǎng)時(shí)間不少于60分鐘的人數(shù);
(2)完成表3的2×2列聯(lián)表,并回答能否有90%的把握認(rèn)為“學(xué)生周日上午時(shí)間與性別有關(guān)”;
(3)從表3的男生中“上網(wǎng)時(shí)間少于60分鐘”和“上網(wǎng)時(shí)間不少于60分鐘”的人數(shù)中用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為10的樣本,再?gòu)闹腥稳?人,記被抽取的2人中上午時(shí)間少于60分鐘的人數(shù)記為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
表3
 上網(wǎng)時(shí)間少于60分鐘  上網(wǎng)時(shí)間不少于60分鐘合計(jì) 
 男生   
 女生   
 合計(jì)   
附:k2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d.
 P(k2≥k0 0.50 0.400.25  0.150.10 0.05  0.0250.010  0.0050.001 
k0  0.4550.708  1.3232.072  2.076 3.845.024  6.6357.879  10.828

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案