分析 (Ⅰ)由cos2t+sin2t=1,消去t,化簡(jiǎn)整理,可得曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)解法一、求得直線方程y=x,設(shè)與直線l平行的直線方程為y=x+m,代入曲線方程,運(yùn)用判別式為0,可得m的值,由平行直線的距離公式可得最大值;
解法二、設(shè)點(diǎn)P(3cost,2+2sint),運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和輔助角公式,結(jié)合正弦函數(shù)的值域,即可得到所求最大值.
解答 解:(Ⅰ)由x=3cost,y=2+2sint,且cos2t+sin2t=1,
消去參數(shù)t,得曲線C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{{{{({y-2})}^2}}}{4}=1$.
(Ⅱ)解法一、直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x.
設(shè)與直線l平行的直線方程為y=x+m,代入$\frac{x^2}{9}+\frac{{{{({y-2})}^2}}}{4}=1$,
整理得13x2+18(m-2)x+9[(m-2)2-4]=0.
由△=[18(m-2)]2-4×13×9[(m-2)2-4]=0,得(m-2)2=13,
所以$m=2±\sqrt{13}$.
當(dāng)點(diǎn)P位于直線$y=x+2+\sqrt{13}$與曲線C的交點(diǎn)(切點(diǎn))時(shí),
點(diǎn)P到直線l的距離最大,為$\frac{{2+\sqrt{13}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{2\sqrt{2}+\sqrt{26}}}{2}$.
解法二、設(shè)點(diǎn)P(3cost,2+2sint),
則點(diǎn)P到直線x-y=0的距離為$\frac{{|{3cost-2-2sint}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\sqrt{13}sin({t-φ})+2}|}}{{\sqrt{2}}}$,
其中$cosφ=\frac{2}{{\sqrt{13}}},sinφ=\frac{3}{{\sqrt{13}}}$.
所以距離的最大值是$\frac{{\sqrt{13}+2}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{2\sqrt{2}+\sqrt{26}}}{2}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,注意運(yùn)用同角的平方關(guān)系,考查點(diǎn)到直線的距離的最大值,注意運(yùn)用參數(shù)方程和點(diǎn)到直線的距離公式,以及聯(lián)立直線和曲線方程,運(yùn)用判別式為0,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $\frac{{\sqrt{21}}}{12}$ | B. | $\frac{{\sqrt{17}}}{12}$ | C. | $\frac{{\sqrt{21}}}{6}$ | D. | $\frac{{\sqrt{17}}}{6}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | [-2,10) | B. | (-2,10] | C. | [6,10] | D. | (6,10] |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$+1 | D. | $\sqrt{2}$+1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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A. | 2 | B. | 5 | C. | 10 | D. | 18 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | {-1,0,1} | B. | {1,2,3} | C. | {0,1,2} | D. | {1,2,3,4} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
上網(wǎng)時(shí)間(分鐘) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70,80] |
人數(shù) | 5 | 25 | 30 | 25 | 15 |
上網(wǎng)時(shí)間(分鐘) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70,80] |
人數(shù) | 10 | 20 | 40 | 20 | 10 |
上網(wǎng)時(shí)間少于60分鐘 | 上網(wǎng)時(shí)間不少于60分鐘 | 合計(jì) | |
男生 | |||
女生 | |||
合計(jì) |
P(k2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.076 | 3.84 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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