Question

19．已知△ABC的角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，其面積$S=4\sqrt{3}$，∠B=60°，且a²+c²=2b²；等差數(shù)列{a_n}中，且a₁=a，公差d=b．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且T_n-2b_n+2=0，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}，n為奇數(shù)}\\{{b_n}\;\;，n為偶數(shù)}\end{array}}\right.$，求數(shù)列{c_n}的前2n+1項(xiàng)和T_2n+1．

Answer 1

分析 （1）利用a²+c²=2b²，所以b²=2accosB=16，即b=4，再求出a，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；利用T_n-2b_n+2=0，再寫一式，相減，可得數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，即可得出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用分組求和，即可求數(shù)列{c_n}的前2n+1項(xiàng)和T_2n+1．

解答 解：（1）因?yàn)?S=4\sqrt{3}$，∠B=60°，所以ac=16，
由于a²+c²=2b²，所以b²=2accosB=16，即b=4，
所以a²+c²=2b²=32，解得a=4，
所以a_n=4n；
由于T_n-2b_n+2=0，所以當(dāng)n≥2時(shí)T_n-1-2b_n-1+2=0
相減整理的$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=2$，即數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
即${b_n}={2^n}$；
（2）T_2n+1=c₁+c₂+…+c_2n+1=（a₁+a₃+…a_2n+1）+（b₂+b₄+…b_2n）
=$\frac{{（{n+1}）（{4+8n+4}）}}{2}+\frac{{4（{1-{4^n}}）}}{1-4}$=$4{（{n+1}）^2}+\frac{4}{3}（{{4^n}-1}）$

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．