Question

14．已知圓C₁的方程為x²+y²=2，拋物線C₂的方程為y²=4x，過直線x=-2上的動點T（-2，t）作圓C₁的兩條切線，設(shè)切點分別為A和B．
（1）求直線AB的方程（用t來表示）；
（2）當(dāng)直線AB和拋物線C₂相切于點C，且點B介于A和C之間時，求△BOC的面積（O為原點）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由圓x²+y²=r²上一點（x₀，y₀）的切線方程為x₀x+y₀y=r²，求出A，B兩點的切線的方程，再由兩點確定一條直線，即可得到直線AB的方程；
（2）聯(lián)立直線AB的方程和拋物線的方程，運(yùn)用判別式為0，求得t，切點C的坐標(biāo)，進(jìn)而得到切線AB的方程，以及B的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點的距離公式和點到直線的距離公式，計算即可得到所求△OBC的面積．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由圓x²+y²=r²上一點（x₀，y₀）的切線方程為x₀x+y₀y=r²，
可得過A，B的切線方程為x₁x+y₁y=2，x₂x+y₂y=2，
又它們都過點T（-2，t），可得-2x₁+ty₁=2，-2x₂+ty₂=2，
由兩點確定一條直線，可得直線-2x+ty=2都過A，B兩點，
即有直線AB的方程為-2x+ty=2；
（2）由直線AB和拋物線C₂相切，聯(lián)立-2x+ty=2和y²=4x，
可得y²-2ty+4=0，由△=4t²-16=0，解得t=±2，
不妨取T（-2，2），解得切點C（1，2），
直線AB的方程為y=x+1，代入圓x²+y²=2，
可得x²+x-$\frac{1}{2}$=0，解得x=$\frac{-1±\sqrt{3}}{2}$，
可設(shè)B（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$），
則|BC|=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}-1}{2}-1）^{2}+（\frac{\sqrt{3}+1}{2}-2）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}（3-\sqrt{3}）}{2}$．
又O到直線AB的距離為d=$\frac{|0+1-0|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有△BOC的面積為$\frac{1}{2}$d•|BC|=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}（3-\sqrt{3}）}{2}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查圓與拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查直線與圓相切、與拋物線相切的條件，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．