Question

1．如圖，E是圓內(nèi)兩弦AB和CD的交點，F(xiàn)為AD延長線上一點，F(xiàn)G切圓于G，且FE=FG．
（I）證明：FE∥BC；
（Ⅱ）若AB⊥CD，∠DEF=30°，求$\frac{AF}{FG}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用切割線定理，EF=FG可得$\frac{FE}{FD}=\frac{FA}{FE}$，利用∠EFD=∠AFE，可得△DEF∽△EAF，再利用圓周角定理證明∠DEF=∠EAF=∠DCB，即可得證FE∥BC；
（Ⅱ）由已知可求∠EAD=30°，解得$\frac{ED}{AE}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，利用相似三角形的性質(zhì)即可得解$\frac{AF}{FG}$的值．

解答 （本題滿分為10分）
證明：（Ⅰ）由切割線定理得：FG²=FA•FD．
又EF=FG，所以EF²=FA•FD，即$\frac{FE}{FD}=\frac{FA}{FE}$
因為∠EFD=∠AFE，所以△FED∽△EAF．
又∠DAB，∠DCB都是弧DB上的圓周角，有∠DEF=∠EAF=∠DCB，
所以，F(xiàn)E∥BC，…（6分）
（Ⅱ）由AB⊥CD，得∠AED=90°．
因為∠EAD=∠DEF=30°，
所以$\frac{ED}{AE}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以$\frac{AF}{FG}$=$\frac{AF}{FE}$=$\frac{AE}{ED}$=$\sqrt{3}$．…（10分）

點評 本題考查切割線定理，考查三角形相似的判斷和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．