Question

5．如圖，已知圓上是弧AC=弧BD，過點C的圓的切線CE與BA的延長線交于點E．
（1）求證：∠ACE=∠BCD；
（2）求證：BD²=AE•CD．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)題中條件弧AC=弧BD得∠BCD=∠ABC．再根據(jù)EC是圓的切線，得到∠ACE=∠ABC，從而即可得出結(jié)論．
（2）欲證BD²=AE×CD．即證$\frac{BD}{AE}=\frac{DC}{AC}$，．故只須證明△BDC～△EAC即可．

解答 解：（1）因為弧AC=弧BD，
所以∠BCD=∠ABC．
又因為EC與圓相切于點C，
故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD．（5分）
（Ⅱ）因為∠CAE=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC～△EAC，
故$\frac{BD}{AE}=\frac{DC}{AC}$．
因為BD=AC
所以BD²=AE×CD．（10分）

點評 本題主要考查圓的切線的判定定理的證明、弦切角的應(yīng)用、三角形相似等基礎(chǔ)知識，考查運化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．