Question

17．已知等比數(shù)列{a_n}，a₃=4，且a₃，a₄+2，a₅成等差數(shù)列，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為T_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若T_n＜m對(duì)任意n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，利用等差中項(xiàng)計(jì)算可知q=2，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）及等比數(shù)列的求和公式計(jì)算可知T_n=2（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則a₄=4q，a₅=4q²，
∵a₃，a₄+2，a₅成等差數(shù)列，
∴2（a₄+2）=a₃+a₅，即2（4q+2）=4+4q²，
整理得：q（q-2）=0，解得：q=2或q=0（舍），
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=a₃q^n-3=2^n-1；
（2）由（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，T_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
又∵T_n＜m對(duì)任意n∈N^*恒成立，
∴m≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．