Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，且對任意的n∈N⁺都有a_n+1=a₁+a_n+n，則{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前100項(xiàng)和為（　　）

• A． $\frac{100}{101}$
• B． $\frac{99}{100}$
• C． $\frac{101}{100}$
• D． $\frac{200}{101}$

Answer 1

分析 先根據(jù)累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，再裂項(xiàng)$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），即可求前100項(xiàng)和．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且對任意的n∈N⁺都有a_n+1=a₁+a_n+n，
∴a_n+1-a_n=1+n，
∴a_n-a_n-1=n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+…+2+1=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前100項(xiàng)和2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$）=2（1-$\frac{1}{101}$）=$\frac{200}{101}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式和裂項(xiàng)法求前n項(xiàng)和，屬于中檔題．