Question

20．如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD．且PD=2EC=$\sqrt{2}$．
（1）求證：AC∥平面PBE；
（2）若AD=1，求直線PB與底面ABCD所成角的大��；
（3）若AD=1，求四棱錐B-PDCE的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，取PB的中點(diǎn)F，連接EF，OF，證明：OCEF為平行四邊形，可得AC∥EF，利用線面平行的判定定理證明AC∥平面PBE；
（2）由PD⊥平面ABCD，可得∠PBD為PB與平面ABCD所成的角，即可求直線PB與底面ABCD所成角的大小；
（3）利用錐體的體積公式求四棱錐B-PDCE的體積．

解答 （1）證明：設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，取PB的中點(diǎn)F，連接EF，OF，$則OF∥PD且OF=\frac{1}{2}PD$．
$又由已知：EC∥PD且EC=\frac{1}{2}PD$，∴OF∥EC且OF=EC，
∴OCEF為平行四邊形．…（2分）
從而AC∥EF，又EF?面PBE，AC?面PBE．
故AC∥面PBE…（4分）
（2）解：∵PD⊥平面ABCD，∴∠PBD為PB與平面ABCD所成的角．…（6分）
$在Rt△PDB中，PD=BD=\sqrt{2}$．∴$∠PBD=\frac{π}{4}$．…（8分）
（3）解：∵BC⊥面PDCE，
∴${V_{B-PDCE}}=\frac{1}{3}•{S_{梯形PDCE}}•BC=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定，考查線面角，考查四棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．