Question

17．已知四棱錐P-ABCD的5個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若底面ABCD為距形，AB=4，BC=4$\sqrt{3}$，且四棱錐P-ABCD體積的最大值為64$\sqrt{3}$，則球O的表面積為$\frac{1600π}{9}$．

Answer 1

分析 由底面ABCD為矩形，AB=4，BC=4$\sqrt{3}$，且四棱錐P-ABCD體積的最大值為64$\sqrt{3}$，可得四棱錐P-ABCD的高的最大值為$\frac{3×64\sqrt{3}}{4×4\sqrt{3}}$=12，矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為8，由射影定理求出R，即可求出球O的表面積．

解答 解：∵底面ABCD為矩形，AB=4，BC=4$\sqrt{3}$，且四棱錐P-ABCD體積的最大值為64$\sqrt{3}$，
∴四棱錐P-ABCD的高的最大值為$\frac{3×64\sqrt{3}}{4×4\sqrt{3}}$=12，矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為8
設(shè)球的半徑為R，則由射影定理可得16=12×（2R-12），∴R=$\frac{20}{3}$
∴球O的表面積為S=$4π×（\frac{20}{3}）^{2}$=$\frac{1600π}{9}$
故答案為：$\frac{1600π}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球O的表面積，考查四棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．